Menu główne:
MATERIAŁ MATURALNY > ciągi > ciąg arytmetyczny
PODSTAWOWE INFORMACJE
Ciąg arytmetyczny to najprostszy rodzaj ciągu matematycznego.
Jego kolejne wyrazy powstają poprzez dodawanie konkretnej liczby, którą nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczamy:
Do pełnego opisu ciągu arytmetycznego, oprócz różnicy, potrzebujemy wartości pierwszego wyrazu ciągu:
Przykład:
Dla danego ciągu różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami, czyli liczba jaką dodajemy by uzyskać następny wyraz, wynosi 3, a wartość pierwszego wyrazu wynosi 2.
Znając różnicę i wartość pierwszego wyrazu, możemy zapisać wzór ciągu. Istnieją dwa typy wzorów, jakimi zapisujemy ciąg arytmetyczny:
- wzór ogólny
Dla rozpatrywanego przykładu, wzór ogólny będzie miał postać:
- wzór rekurencyjny.
Dla rozpatrywanego przykładu, wzór rekurencyjny będzie miał postać:
Spośród tych dwóch rodzajów wzorów, ważniejszy jest wzór ogólny. Z tego wzoru będziemy korzystać, chcąc obliczyć jakikolwiek wyraz ciągu.
Przykładowo, dla rozpatrywanego ciągu, obliczymy jego czterdziesty wyraz.
Monotoniczność
Ciąg arytmetyczny jest zawsze monotoniczny. W celu oceny jego monotoniczności nie są konieczne żadne obliczenia. Jedyną potrzebną informacją jest różnica ciągu (r):
- ciąg jest rosnący, gdy różnica jest dodatnia (r > 0),
- ciąg jest malejący, gdy różnica jest ujemna (r < 0),
- ciąg jest stały, gdy różnica wynosi zero (r = 0).
W rozpatrywanym przez nas przykładzie, różnica wynosi 3, jest więc dodatnia. Ciąg jest rosnący.