Menu główne:
MATERIAŁ MATURALNY > funkcja kwadratowa
RÓWNANIA KWADRATOWE
Matematyka – matura - funkcja kwadratowa: równania kwadratowe zupełne i niezupełne
Równania kwadratowe to równania z jedną niewiadomą (x), ale pojawia się w nich „”.
Przykład równania kwadratowego:
Zanim przystąpimy do rozwiązania równania kwadratowego, musi zostać zapisane w formie przedstawionej na powyższym przykładzie. Możemy spotkać się z równaniami kwadratowymi, które nie są tak zapisane. Wtedy należy je przekształcić.
Przykład:
Wszystkie równania kwadratowe możemy rozwiązać korzystając z wyróżnika funkcji i wzorów na miejsca zerowe. Prostsze przypadki równań kwadratowych należy jednak rozwiązywać w inny sposób.
Proste przypadki równań kwadratowych (równania niezupełne):
równania:
Przykład:
Rozwiązaniem tego typu równań (niezależnie od wartości liczby stojącej przed „x”) jest zawsze zero:
- równania:
Przykład:
Tu mamy dwie metody:
METODA I
Przekształcamy równanie:
Mamy zawsze dwa rozwiązania, które są pierwiastkami kwadratowymi liczby stojącej po prawej stronie – pierwsze rozwiązanie zapisujemy ze znakiem minus, drugie ze znakiem plus:
METODA II
Wykorzystując trzeci wzór skróconego mnożenia (w drugą stronę, co przedstawiliśmy w podrozdziale – zamiana sumy na iloczyn) – ta metoda nie zawsze może być wykorzystana. Tu możemy ją wykorzystać, ponieważ znaki wyrażeń są zgodne ze znakami we wzorze skróconego mnożenia:
Rozwiązujemy dwa równania i otrzymujemy dwa rozwiązania:
Gdy nie jest możliwe wykorzystanie drugiej metody, musimy wykorzystać pierwszą.
UWAGA: Wśród równań tego typu, zdarzają się takie, które nie mają rozwiązań (rozwiązanie jest zbiorem pustym). Równań tych nigdy nie da się rozwiązać drugą metodą. Są to równania, w których liczba, jaką uzyskujemy po prawej stronie, ma znak ujemny.
Przykład:
- równania:
Przykład:
Najpierw należy wyłączyć „x” przed nawias (wyłączanie przed nawias zostało przedstawione w dziale „podstawy”: wyłączanie przed nawias):
Rozwiązujemy dwa równania (otrzymujemy dwa rozwiązania):
Standardowe równania kwadratowe (równania zupełne):
Czyli równania w „pełnej” postaci:
Niektóre równania możemy rozwiązać stosując wzory skróconego mnożenia (pierwszy lub drugi). Warunkiem jest oczywiście możliwość wykorzystania któregoś ze wzorów (podrozdział: zamiana sumy na iloczyn).
Przykład:
Tu możemy wykorzystać drugi wzór skróconego mnożenia:
Rozwiązujemy jedno równanie (mamy jedno rozwiązanie):
Pozostałe równania (w których nie możemy zastosować żadnego wzoru skróconego mnożenia) rozwiązujemy obliczając wyróżnik, a następnie korzystamy ze wzorów na miejsca zerowe, które są rozwiązaniem równania.
UWAGA: Liczba rozwiązań jest zależna od wyróżnika, tak jak liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej ( miejsca zerowe funkcji kwadratowej). Gdy wyróżnik jest większy od zera mamy dwa rozwiązania, równy zero – jedno rozwiązanie, mniejszy od zera – brak rozwiązań.
W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)