Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

równania kwadratowe - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > funkcja kwadratowa

RÓWNANIA KWADRATOWE
Matematyka – matura - funkcja kwadratowa: równania kwadratowe zupełne i niezupełne


Równania kwadratowe to równania z jedną niewiadomą (x), ale pojawia się w nich „”.
Przykład równania kwadratowego:


Zanim przystąpimy do rozwiązania równania kwadratowego, musi zostać zapisane w formie przedstawionej na powyższym przykładzie. Możemy spotkać się z równaniami kwadratowymi, które nie są tak zapisane. Wtedy należy je przekształcić.
Przykład:



Wszystkie równania kwadratowe możemy rozwiązać korzystając z wyróżnika funkcji i wzorów na miejsca zerowe.
Prostsze przypadki równań kwadratowych należy jednak rozwiązywać w inny sposób.



Proste przypadki równań kwadratowych (równania niezupełne):


równania:
Przykład:

Rozwiązaniem tego typu równań (niezależnie od wartości liczby stojącej przed „x”) jest zawsze zero:


- równania:

Przykład:

Tu mamy dwie metody:

METODA I
Przekształcamy równanie:

Mamy zawsze dwa rozwiązania, które są pierwiastkami kwadratowymi liczby stojącej po prawej stronie – pierwsze rozwiązanie zapisujemy ze znakiem minus, drugie ze znakiem plus:

METODA II
Wykorzystując trzeci wzór skróconego mnożenia (w drugą stronę, co przedstawiliśmy w podrozdziale – zamiana sumy na iloczyn) – ta metoda nie zawsze może być wykorzystana. Tu możemy ją wykorzystać, ponieważ znaki wyrażeń są zgodne ze znakami we wzorze skróconego mnożenia:


Rozwiązujemy dwa równania i otrzymujemy dwa rozwiązania:


Gdy nie jest możliwe wykorzystanie drugiej metody, musimy wykorzystać pierwszą.

UWAGA: Wśród równań tego typu, zdarzają się takie, które nie mają rozwiązań (rozwiązanie jest zbiorem pustym). Równań tych nigdy nie da się rozwiązać drugą metodą. Są to równania, w których liczba, jaką uzyskujemy po prawej stronie, ma znak ujemny.
Przykład:


- równania:

Przykład:

Najpierw należy wyłączyć „x” przed nawias (wyłączanie przed nawias zostało przedstawione w dziale „podstawy”: wyłączanie przed nawias):

Rozwiązujemy dwa równania (otrzymujemy dwa rozwiązania):



Standardowe równania kwadratowe (równania zupełne):

Czyli równania w „pełnej” postaci:

Niektóre równania możemy rozwiązać stosując wzory skróconego mnożenia (pierwszy lub drugi). Warunkiem jest oczywiście możliwość wykorzystania któregoś ze wzorów (podrozdział: zamiana sumy na iloczyn).
Przykład:

Tu możemy wykorzystać drugi wzór skróconego mnożenia:

Rozwiązujemy jedno równanie (mamy jedno rozwiązanie):

Pozostałe równania (w których nie możemy zastosować żadnego wzoru skróconego mnożenia) rozwiązujemy obliczając wyróżnik, a następnie korzystamy ze wzorów na miejsca zerowe, które są rozwiązaniem równania.
UWAGA: Liczba rozwiązań jest zależna od wyróżnika, tak jak liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej ( miejsca zerowe funkcji kwadratowej). Gdy wyróżnik jest większy od zera mamy dwa rozwiązania, równy zero – jedno rozwiązanie, mniejszy od zera – brak rozwiązań.


W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)


Powrót do treści | Wróć do menu głównego