Matematyka - od podstaw do matury

RÓWNANIA WYMIERNE
Matematyka – matura - wyrażenia wymierne: rodzaje równań wymiernych

Równania wymierne to takie, które zawierają przynajmniej jedno wyrażenie wymierne.
Przykład:

„Tradycyjnie” zanim przystąpimy do jakichkolwiek działań musimy określić dziedzinę.

Aby rozwiązać takie równanie, należy przede wszystkim je przekształcić, tak aby wyeliminować z niego wyrażenie wymierne.
W efekcie mamy do rozwiązania równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe.
Każde równanie wymierne możemy przekształcić metodą „na krzyż”, choć prostsze przypadki możemy przekształcić w inny sposób, co przedstawimy w dalszej części podrozdziału. Aby móc zastosować metodę „na krzyż”, równanie powinno mieć odpowiednią formę – jedno wyrażenie po lewej stronie i jedno po prawej.

Po rozwiązaniu równania konieczne jest sprawdzenie, czy uzyskane wartości należą do dziedziny. Wielkość, która nie należy do dziedziny, nie jest rozwiązaniem równania.
W rozpatrywanym przykładzie otrzymaliśmy dwie wielkości: -1, 2. Ponieważ dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych wyłączając liczbę -1, ta wartość nie może być rozwiązaniem równania.
Mamy więc tylko jedno rozwiązanie:


UWAGA: Może się zdarzyć, że żadna otrzymana wartość nie należy do jego dziedziny. Wtedy równanie nie ma rozwiązań.

PRZEKSZTAŁCANIE INNYCH PRZYPADKÓW

Równanie z jednym wyrażeniem wymiernym i zerem.

Tu po wyznaczeniu dziedziny, mianownik pomijamy. Przyrównujemy do zera sam licznik.
Przykład:

Określamy dziedzinę:


Przyrównujemy do zera sam licznik:




Równanie z jednym wyrażeniem wymiernym i liczbą różną od zera.

Przed przekształcaniem równanie powinno mieć formę: wyrażenie wymierne po jednej stronie znaku równości, a liczba po drugiej stronie.
Następnie wystarczy pomnożyć całe równanie przez mianownik wyrażenia wymiernego.
Przykład:


Określamy dziedzinę:


Przekształcamy równanie:

Równanie z jednym wyrażeniem wymiernym i wielomianem.

Przed przekształcaniem równanie powinno mieć formę: wyrażenie wymierne po jednej stronie znaku równości, a wielomian po drugiej stronie.
Przekształcamy je, tak jak poprzedni typ: mnożąc całe równanie przez mianownik wyrażenia wymiernego.

Przykład:


Określamy dziedzinę:



Przekształcamy równanie:

Równanie z kilkoma wyrażeniami (w tym wymiernymi, liczbami oraz wielomianami).
Równania tego typu nie powinny pojawiać się na poziomie podstawowym, zaprezentujemy jednak jeden przykład. Wymagają one często kilku działań, aby w rezultacie otrzymać tylko dwa wyrażenia. Od tego momentu będziemy mieli do czynienia z jednym z wcześniej wymienionych typów.
Przykład:


Określamy dziedzinę:



Przekształcamy równanie:
Musimy dodać/odjąć od siebie wyrażenia po obu stronach znaku równości.

Otrzymaliśmy równanie z dwoma wyrażeniami wymiernymi. Musimy je więc przekształcić, stosując metodę „na krzyż”.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)