Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

równania z wartością bezwzględną - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > wartość bezwzględna

RÓWNANIA Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ
Matematyka – matura - wartość bezwzględna: równania z wartością bezwzględną


Równania z wartością bezwzględną są specyficzne. Prosimy więc uważnie przeczytać poniższy dział.
Przykład równania z wartością bezwzględną:


PROSTE RÓWNANIA - rozwiązywane przy pomocy zaznaczania na osi liczbowej (interpretacja graficzna).
Przede wszystkim należy wyjaśnić, co mamy na myśli używając zwrotu „proste równania”. Chodzi o równania, w których „x” ma współczynnik liczbowy równy 1.
Przykład:


W innym przypadkach (takich jak pierwszy przykład równania), nie możemy zastosować metody z zaznaczaniem na osi liczbowej.

Metoda opiera się na trzech krokach.
I.
Rysujemy oś liczbową i zaznaczmy na niej liczbę zawartą w wyrażeniu umieszczonym w wartości bezwzględnej, ale ze zmienionym znakiem.



II. Szukamy dwóch liczb, których odległość od zaznaczonej na osi liczby, równa się wartości po prawej stronie równania.



III. Zapisujemy rozwiązania łącząc je słowem „lub” albo znakiem zastępującym to słowo – „v



METODA OBLICZENIOWA – zarówno dla prostszych jak i trudniejszych przypadków.
Stosujemy ją do wszystkich równań z wartością bezwzględną (oprócz specyficznych przypadków, opisanych później w tym rozdziale). Jest to jedyny sposób na rozwiązanie równań, w których „x” ma wartość liczbową inną niż jeden (np: 2x, 4x, -x, -3x).
Metodę obliczeniową przedstawimy na przykładzie:


Metoda polega na rozwiązaniu dwóch równań, rozdzielonych słowem „lub” albo znakiem zastępującym to słowo – „v”. W efekcie otrzymujemy dwie liczby, które są rozwiązaniem równania:

- pierwsze równanie jest identyczne z pierwotnym. Pomijamy jedynie znak wartości bezwzględnej.

- drugie równanie, zawiera jedną różnicę. Oprócz usunięcia znaku wartości bezwzględnej, zmieniamy znak liczby znajdującej się po prawej stronie.



Upraszczanie złożonych równań.

Czasami równania z wartością bezwzględną są podane w „mniej przyjemnej” formie. Aby było możliwe ich rozwiązanie (jedną z dwóch powyżej opisanych metod), konieczne jest ich przekształcenie, do postaci w jakiej podane były dotychczas przedstawione równania.
Przykład:


Podstawowa zasada podczas przekształcania, to traktowanie wartości bezwzględnej jako całości i obliczanie jej zgodnie z regułami przekształcania równań.



SPECYFICZNE PRZYPADKI – gdy nie możemy rozwiązać równania tradycyjnie.

Nie jest ich mniej niż przypadków „typowych”, ale bez wątpienia rzadziej pojawiają się w zadaniach. Tego typu równań nie rozwiązujemy przedstawionymi wcześniej metodami.
Pod nazwą „specyficzne przypadki” mamy na myśli dwa rodzaje równań:
-równania, w których po prawej stronie znajduje się zero,
Przykład:


Gdy po prawej stronie znajduje się zero, rozwiązanie sprowadza się do obliczenia jednego równania.
Przepisujemy równanie
bez zmian, opuszczając wartość bezwzględną i obliczamy.



- równania, w których po prawej stronie znajduje się liczba ujemna.
Przykład:



Tego typu równań w ogóle nie obliczamy. Niezależnie od wyrażenia po lewej stronie i liczby po prawej (z tym, że oczywiście musi być ujemna), rozwiązanie jest zawsze takie samo.
Cokolwiek znajdowałoby się wewnątrz wartości bezwzględnej, wynik zawsze będzie dodatni. Nie ma więc takiego „x” (a więc rozwiązania), który dałby nam w efekcie wartość ujemną.
Rozwiązaniem równań tego typu zawsze jest zbiór pusty.




W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)


Powrót do treści | Wróć do menu głównego