Matematyka - od podstaw do matury

ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rozkład prawdopodobieństwa to rozpisane prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń elementarnych, które razem tworzą przestrzeń zdarzeń elementarnych i których suma prawdopodobieństw wynosi 1.
Brzmi to trochę skomplikowanie, ale okaże się dużo łatwiejsze, gdy przedstawimy rozkład prawdopodobieństwa na przykładzie.

Przykład:
Dla rzutu kostką, przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z sześciu zdarzeń elementarnych:


Zakładając, że kostka jest idealnie symetryczna, prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego jest takie same i wynosi:


Rozkład prawdopodobieństwa możemy zapisać w tabeli:

Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych musi wynosić 1:

SCHEMAT KLASYCZNY to rozkład prawdopodobieństwa, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest takie samo – zdarzenia są jednakowo prawdopodobne.

Powyższy rozkład otrzymaliśmy „teoretycznie”, zakładając że kostka jest idealnie symetryczna i wszystkie zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne. W praktyce rozkład prawdopodobieństwa otrzymuje się doświadczalnie, a wynik tych doświadczeń rzadko jest taki „idealny”, co spowodowane jest samą naturą losowości i innymi czynnikami.

W przypadku rzutu kostką, tym czynnikiem mogą być wytarte brzegi kostki, w wyniku czego jest ona niesymetryczna i określona liczba oczek może padać częściej niż inne.
Przykład:
Dany jest rozkład prawdopodobieństwa dla rzutu niesymetryczną kostką:

Na podstawie podanego rozkładu prawdopodobieństwa, możliwe jest określenie prawdopodobieństwa konkretnego zdarzenia losowego.

PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZDARZENIA LOSOWEGO jest sumą prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych, które je spełniają.

Przykład:
Dla podanego powyżej rozkładu prawdopodobieństwa obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A, polegającego na wyrzuceniu nieparzystej liczby oczek.

Temu zdarzeniu sprzyjają trzy zdarzenia elementarne (pierwsze, trzecie i piąte), których prawdopodobieństwa możemy odczytać z przedstawionej powyżej tabeli rozkładu prawdopodobieństwa:


Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest sumą prawdopodobieństw tych trzech zdarzeń:

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia losowego na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa jest konieczne, gdy jest on w zadaniu podany.
Istnieją też zadania, w których doświadczenia losowe są na tyle proste, że możemy sami wybrać tę metodę, tworząc tabelę rozkładu prawdopodobieństwa.

Gdy w zadaniu nie ma żadnej informacji sugerującej, że poszczególne zdarzenia mają różne prawdopodobieństwo (np. niesymetryczność kostki) zakładamy, że są one jednakowo prawdopodobne.
Możemy mieć jednak do czynienia z zadaniami, w których poszczególne zdarzenia elementarne nie są jednakowo prawdopodobne, ale informacje zawarte w zadaniu umożliwiają nam obliczenie prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń elementarnych.

Przykład:
W doświadczeniu losowym polegającym na rzucie czworościenną kostką o numerach na ściankach: 1, 2, 3, 4; liczba 3 wypada dwa razy częściej niż każda inna.



Rozkład prawdopodobieństwa: