Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

warunek równoległości prostych - funkcja liniowa - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > f. liniowa, geometria analityczna

WARUNEK RÓWNOLEGŁOŚCI PROSTYCH
Matematyka – matura - geometria analityczna (funkcja liniowa): równanie prostej, warunek równoległości prostych


Z warunku równoległości możemy korzystać, gdy funkcja ma postać kierunkową lub ogólną. Dla obu postaci warunek ten przedstawia się inaczej. Na maturze nie jest wymagana umiejętność obu podejść. Zdecydowanie zachęcamy do skupienia się na podejściu stworzonemu dla postaci kierunkowej. Jest prostsze, łatwiejsze do zapamiętania. Po za tym tylko niektórzy nauczyciele wymagają wzorów bazujących na postaci ogólnej, które nie wchodzą w zakres materiału maturalnego, ani nie znajdują się na kartach wzorów dostępnych na maturze. Dla porządku przedstawimy oba podejścia. Jeżeli jednak Twój nauczyciel nie wymaga umiejętności wzorów dla postaci ogólnej, radzimy opuścić tę metodę. Nawet, gdy funkcja jest podana w postaci ogólnej, możemy przekształcić ją do postaci kierunkowej i korzystać z podejścia dla tej postaci.



Postać kierunkowa
Dwie proste są równoległe, gdy ich wzory mają ten sam współczynnik kierunkowy (a).
Przykład:

Proste k oraz l są równoległe ( l || k)



Postać ogólna
Dwie proste są równoległe, gdy ich współczynniki liczbowe spełniają równość:



Przykład:

Warunek równoległości nie jest stosowany jedynie w celu określenia, czy dwie proste są równoległe. Wykorzystuje się go jeszcze w dwóch sytuacjach:
- w celu określenia wzoru funkcji prostej równoległej do danej, co przedstawimy w tym punkcie,
- w zadaniach z parametrem (co jest przedstawione w podrozdziale: zadania z parametrem).




Obliczanie wzoru prostej równoległej do danej
Mowa tu o zadaniach, w których podana jest funkcja, do której szukana prosta jest równoległa oraz punkt przez jaki przechodzi.
Przykład:
Podaj wzór prostej równoległej do prostej: y = 4x -5, jeżeli przechodzi przez punkt (1, -3).

Dla tego zadania, osobno przedstawimy dwa podejścia – z pozycji postaci kierunkowej i ogólnej.


Postać kierunkowa
Aby poznać wzór prostej zapisanej pod postacią kierunkową, musimy obliczyć jej współczynniki (a i b).
Na wstępie nie znamy wartości żadnego z nich. Możemy jedynie zapisać kierunkowy wzór funkcji liniowej:

Korzystamy z informacji zawartych w zadaniu.
Po pierwsze: prosta ma być równoległa do prostej y = 4x + 5, co oznacza, że ma ten sam współczynnik kierunkowy. Dlatego w miejsce „a” we wzorze, możemy wpisać liczbę 4:

W tym momencie brakuje nam jeszcze wartości współczynnika „b”.

Po drugie: szukana prosta, przechodzi przez punkt (1, -3). Możemy podstawić współrzędne punktu do wzoru i z tak powstałego równania obliczyć „b”.


Gdy znamy współczynnik „b”, wystarczy podstawić go do wzoru i w ten sposób otrzymujemy pełny wzór szukanej prostej:





Postać ogólna
Dla tego konkretnego zadania, musimy najpierw przekształcić wzór funkcji do postaci ogólnej:


Tu także, aby móc zapisać wzór prostej, musimy określić jej współczynniki (A, B i C).



Korzystamy z informacji zawartych w zadaniu.
Po pierwsze: prosta ma być równoległa do prostej -4x + y + 5 = 0.
Korzystanie ze wzoru, służącego do sprawdzenia, czy dane proste są równoległe, tu nam nie pomorze.
W przypadku tego typu zadań, wystarczy zapisać,
że współczynniki A i B obu prostych będą takie same.

W tym momencie brakuje nam jeszcze wartości współczynnika „C”

Po drugie: szukana prosta, przechodzi przez punkt (1, -3). Możemy podstawić współrzędne punktu do wzoru i z tak powstałego równania obliczyć „C”.


Gdy znamy współczynnik „C”, wystarczy podstawić go do wzoru i w ten sposób otrzymujemy pełny wzór szukanej prostej:




W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)


Powrót do treści | Wróć do menu głównego