Menu główne:
MATERIAŁ MATURALNY > potęgi i pierwiastki
WYKŁADNIK WYMIERNY (UŁAMKOWY)
Matematyka – matura - potęgi: wykładnik wymierny
W dziale „podstawy” omówione zostały potęgi i pierwiastki ze wzorami, z których korzystamy w trakcie rozwiązywania zadań (PODSTAWY – potęgi i pierwiastki (1) – wzory na potęgi i pierwiastki).
Zakres maturalny obejmuje również potęgi o wykładniku wymiernym (ułamkowym). Są one ściśle powiązane z pierwiastkami, które możemy zamienić na potęgę o wykładniku ułamkowym i odwrotnie.
Wykładnik ułamkowy może być zapisany zarówno za pomocą ułamka zwykłego, jak i ułamka dziesiętnego.
Przykłady:
Zamiana potęgi ułamkowej na pierwiastek
Aby zamienić potęgę ułamkową na pierwiastek, potęga musi zostać zapisana za pomocą ułamka zwykłego. Jeżeli w wykładniku mamy liczbę mieszaną należy zamienić ją na ułamek niewłaściwy.
Przykłady:
Gdy wykładnik ma odpowiednią postać, możemy zamienić potęgę na pierwiastek zgodnie ze wzorem:
Dopiero gdy mamy postać pierwiastka możemy wykonać obliczenia. Najpierw wykonujemy potęgowanie pod pierwiastkiem, a następnie pierwiastkujemy.
Przykłady:
Zamiana pierwiastka na potęgę
Aby zamienić pierwiastek na potęgę, korzystamy z przedstawionego wzoru (w drugą stronę):
Przykłady:
Kiedy korzystać z postaci potegi o wykładniku ułamkowym, a kiedy zamienić ją na pierwiastek lub odwrotnie?
Z postaci potęgi o wykładniku ułamkowym korzystamy w trakcie obliczeń, gdy zależy nam na możliwości korzystania ze wzorów na potęgi. W wypadku potęg mamy o wiele szerszą gamę wzorów niż w wypadku pierwiastków. Zdarzają się zadania, których niemal nie da się rozwiązać pozostawiając jakieś wielkości pod postacią pierwiastka.
Z postaci pierwiastka korzystamy, gdy chcemy obliczyć ostateczną wartość wyrażenia, co jest niewykonalne, gdy mamy do dyspozycji potęgę o wykładniku ułamkowym.
Przykład:
UWAGA: Gdy w ostatecznym wyniku otrzymujemy w potędze liczbę mieszaną lub ułamek niewłaściwy (zwłaszcza gdy liczba całości jest dość duża), może pojawić się pewne utrudnienie.
Przykład:
Gdy zamieniamy bezpośrednio potęgę na pierwiastek, otrzymujemy wysoką potęgę pod pierwiastkiem, co wymaga użycia kalkulatora. W niektórych przypadkach mogłoby nam nawet zabraknąć miejsca na wyświetlaczu kalkulatora.
Dla ułatwienia obliczeń, powinniśmy zamiast bezpośredniej zamiany na pierwiastek, najpierw „oddzielić” całości w potędze od ułamka.
W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)