Matematyka - od podstaw do matury

WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH
Matematyka – matura - geometria analityczna (funkcja liniowa): równanie prostej, wzajemne położenie prostych

Dwie proste na płaszczyźnie mogą być do siebie równoległe, pokrywać się lub przecinać w jednym punkcie (w tym: mogą przecinać się pod kątem prostym, lub innym kontem).

Gdy mamy określić, jak położone są względem siebie dwie proste, najlepiej sprawdzać poszczególne możliwość.
1) Czy proste są równoległe?
2) Czy proste się pokrywają?
3) Czy proste przecinają się pod kątem prostym?
4) Czy przecinają się pod innym kontem?
UWAGA: Wystarczy sprawdzić pierwsze trzy możliwości. Jeżeli żadna nie dotyczy rozpatrywanych przez nas prostych, oznacza to, że musi zachodzić przypadek czwarty (pierwsze trzy punkty możemy rozpatrywać w dowolnej kolejności).

W dwóch poprzednich rozdziałach przedstawiliśmy, jak sprawdzić ewentualność pierwszą i trzecią ( warunek równoległości i warunek prostopadłości prostych).
Przedstawimy teraz jak sprawdzić czy dwie proste się pokrywają, z pozycji postaci kierunkowej i postaci ogólnej:

2) Czy proste się pokrywają?
W zasadzie ta ewentualność jest najprostsza do sprawdzenia.

Postać kierunkowa
Dwie proste się pokrywają, gdy ich wzory w postaci kierunkowej są identyczne:
Przykład:

Postać ogólna
Podobnie jak w przypadku postaci kierunkowej, wzory funkcji w postaci ogólnej także powinny być identyczne. Istnieje jednak pewna podstawowa różnica.
W przypadku postaci ogólnej wzory mogą być identyczne, ale mogą jednocześnie na takie „nie wyglądać”. Dla jednoznacznej oceny należy doprowadzić do tego, aby we wzorach obu prostych współczynnik B (liczba stojąca przed „y”) wynosił 1.
Przykład:


Aby współczynnik B (liczba stojąca przed „y”) wynosił 1, należy podzielić całe równanie, przez pierwotny współczynnik B.
prosta l:

prosta k:

Po przekształceniu wzorów obu prostych, widać, że ich wzory są identyczne.
Oznacza to, że proste się pokrywają.

ALTERNATYWNY SPOSÓB
Wzajemne położenie dwóch prostych można sprawdzić, rozwiązując układ równań złożony ze wzorów obu prostych (nie ma znaczenia czy mamy do czynienia z postacią kierunkową, czy ogólną).
W trakcie rozwiązywania układu, okazuje się z jakim rodzajem układu mamy do czynienia, a rodzaj układu determinuje, jakie jest wzajemne położenie dwóch prostych. Zostało to dokładnie omówione w dziale „podstawy” (PODSTAWY – układy równań – rodzaje układów). Przypomnimy jedynie, że:
- gdy układ jest nieoznaczony, proste się pokrywają,
- gdy układ jest sprzeczny, proste są równoległe,
- gdy układ jest oznaczony, proste przecinają się w jednym punkcie (rozwiązując układ, otrzymamy jednocześnie współrzędne przecięcia obu prostych).

Czasem jednak rozwiązanie układu nie wystarcza. Mowa tu o przypadku w którym okazuje się, że proste przecinają się w jednym punkcie. Wtedy należy dodatkowo ustalić, czy proste są prostopadłe, czy nie.

Przykład:
Dane są proste:


Zapisujemy układ równań, a następnie rozwiązujemy go (metody rozwiązywania układów równań zostały wcześniej przedstawione: metoda graficzna, metoda przeciwnych współczynników, metoda podstawiania):

Okazało się, że proste przecinają się w jednym punkcie [mamy nawet współrzędne tego punktu: (1, 6)].
Należy jeszcze sprawdzić, czy proste przecinają się pod kątem prostym

Korzystając z podanych w zadaniu postaci kierunkowych prostych, wystarczy sprawdzić, czy spełniony jest warunek prostopadłości prostych.
Współczynnik „a” prostej l wynosi 4, a prostej k wynosi -3. Współczynniki mają przeciwne znaki, ale nie są w stosunku do siebie liczbami odwrotnymi. Oznacza to, że proste nie przecinają się pod kątem prostym.

Odpowiedź: Proste przecinają się w jednym punkcie, pod kątem innym, niż kąt prosty.

PROSTE POZIOME I PIONOWE (y = c oraz x = c)
Proste opisane w rozdziale: równanie prostej

Gdy mamy do czynienia z prostymi poziomymi i pionowymi, określanie wzajemnego położenia prostych, jest w zasadzie dużo prostsze. Nie wykonujemy żadnych obliczeń (wystarczy, że przynajmniej jedna prosta jest pozioma lub pionowa). Wystarczy pamiętać, że prosta:
- w postaci y = c jest pozioma (np. y = 3 to pozioma prosta na wysokości 3);
- w postaci x = c jest pionowa (np. x = -2 to pionowa prosta „przechodząca” przez argument -2).

W związku z powyższym:

1) Proste pozioma i pionowa są prostopadłe (np. x = 5 oraz y = 7).

2) Dwie proste poziome są równoległe (np. y = 3 oraz y = -2), jak również dwie proste pionowe są równoległe (np. x = -3 oraz x = 6).

3) Gdy mamy prostą poziomą lub pionową oraz „standardową” prostą: y = ax + b
(np. x = -4 oraz y = 2x + 3), dane proste przecinają się pod kątem innym, niż prosty.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)