Matematyka - od podstaw do matury

ZADANIA Z PARAMETREM
Matematyka – matura - geometria analityczna (funkcja liniowa): zadania z parametrem związane z warunkami prostopadłości i równoległości oraz z monotonicznością

Zadania z parametrem możemy podzielić na dwie podstawowe grupy:
- zadania związane z monotonicznością,
- zadania związane z warunkiem prostopadłości i równoległości.

Zadania związane z monotonicznością.
Na wstępie należy przypomnieć od czego zależy monotoniczność funkcji liniowej (opisana w dziale PODSTAWY – funkcje – funkcja liniowa – własności).
Funkcja liniowa jest:
- rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy (a) jest większy od zera,
- malejąca, gdy współczynnik kierunkowy (a) jest mniejszy od zera,
- stała, gdy współczynnik kierunkowy (a) jest równy zero.
Przykład:
Dana jest funkcja:



Jak wiemy współczynnik kierunkowy (a), to liczba stojąca przed „x”. Tu nie mamy do czynienia z jedną liczbą. Przed „x” stoi całe wyrażenie (2m-6) i to wyrażenie jest współczynnikiem kierunkowym podanej funkcji. Parametrem w tym wyrażeniu jest zmienna m.
UWAGA: Parametr może przyjmować symbol jakiejkolwiek litery (nie musi to być litera „m”).

Zadania dotyczące monotoniczności mogą się ograniczać do zapytania o jeden rodzaj monotoniczności (np. „dla jakiej wartości parametru m funkcja jest malejąca?”).
My rozpatrzymy wszystkie ewentualności, czyli zbadamy monotoniczność w zależności od wartości parametru m (kiedy jest rosnąca, kiedy malejąca, a kiedy stała).

- Dla jakiej wartości parametru m, funkcja jest rosnąca?
Skoro funkcja jest rosnąca, gdy „a” jest większe od zera, zapisujemy:


Rozwiązanie nierówności wystarczy zapisać przedziałem (nie musimy zaznaczać wyniku na osi):



Rozwiązywanie nierówności wraz z zapisem przedziałów, zostało przedstawione w dziale „podstawy” (PODSTAWY – równania i nierówności – nierówności).

- Dla jakiej wartości parametru m, funkcja jest malejąca?
Skoro funkcja jest malejąca, gdy „a” jest mniejsze od zera, zapisujemy:

- Dla jakiej wartości parametru m, funkcja jest stała?
Skoro funkcja jest stała, gdy „a” wynosi zero, zapisujemy:

UWAGA: Możemy natrafić na bardziej „złośliwe” przykłady, w których najpierw należy przekształcić nieco wzór, aby wyznaczyć jakie wyrażenie będzie stanowić współczynnik kierunkowy.
Przykład:


Dopiero po przekształceniu wzoru możemy określić „a” – (m + 4) i postępować dalej, jak przedstawiliśmy to wcześniej.

Zadania związane z warunkiem prostopadłości i równoległości.
W tego typu zadaniach możemy korzystać zarówno z warunków równoległości i prostopadłości dla postaci kierunkowej i ogólnej.

- dla warunku równoległości

postać kierunkowa
Przykład:
Dla jakiej wartości parametru m, proste l: y = (m-1)x + 4 oraz k: y = -6x - 7, są równoległe?

Warunek równoległości dla postaci kierunkowej mówi, że współczynniki kierunkowe prostych muszą być równe. Zapisujemy więc:

Odpowiedź: Proste l oraz k są równoległe dla m = -5.

postać ogólna
Przykład:
Dla jakiej wartości parametru m, proste l: (-6 + m)x + 6y – 10 = 0 oraz k: 4mx – 12y +3 = 0, są równoległe?

Przypominamy, że warunek równoległości dla postaci ogólnej wyraża się wzorem:


Podstawiamy do wzoru, określone w nim współczynniki:



Odpowiedź: Proste l oraz k są równoległe dla m = 2.

- dla warunku prostopadłości

postać kierunkowa
Przykład:
Dla jakiej wartości parametru m, proste l: y = (m-1)x + 4 oraz k: y = -6x - 7, są prostopadłe?

Warunek prostopadłości dla postaci kierunkowej mówi, że współczynniki kierunkowe prostych muszą mieć przeciwne znaki i być w stosunku do siebie liczbami odwrotnymi. Gdybyśmy więc odwrócili i zmienili znak współczynnika kierunkowego jednej z dwóch prostych, ich współczynniki byłyby sobie równe.
UWAGA: Współczynnikiem, który będziemy zmieniać powinien być ten prostszy (w naszym wypadku współczynnik prostej k, który wynosi -6).

Po obróceniu i zmianie znaku współczynnika prostej k (-6), otrzymamy:


Teraz możemy zapisać znak równości, między współczynnikiem prostej l oraz zmienionym współczynnikiem prostej k:

Odpowiedź: Proste l oraz k są prostopadłe dla .

postać ogólna
Przykład:
Dla jakiej wartości parametru m, proste l: (-2 + m)x + 12y – 12 = 0 oraz k: 6x +5y -5 = 0, są prostopadłe?

Przypominamy, że warunek prostopadłości dla postaci ogólnej wyraża się wzorem:


Podstawiamy do wzoru, określone w nim współczynniki:



Odpowiedź: Proste l oraz k są prostopadłe dla m = -8.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)