Matematyka - od podstaw do matury

WZAJEMNE POŁOŻENIE OKRĘGU I PROSTEJ W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Zanim przystąpicie do przerabiania tego tematu należy sobie przypomnieć:
- wiadomości o funkcji liniowej (PODSTAWY – funkcje – funkcja linowa – wykres;
MATERIAŁ MATURALNY – funkcja liniowa i równanie okręgu – postaci funkcji liniowej).
- równanie prostej (MATERIAŁ MATURALNY – funkcja liniowa i równanie okręgu – równanie prostej),
- wzór na odległość punktu od prostej (MATERIAŁ MATURALNY – funkcja liniowa i równanie okręgu – odległość punktu od prostej),
- wzór okręgu (MATERIAŁ MATURALNY – funkcja liniowa i równanie okręgu – równanie okręgu).

Przypomnimy podstawowe aspekty:

Tak jak w wypadku określania wzajemnego położenia dwóch okręgów, tu także mamy do dyspozycji dwie metody:
- graficzną,
- obliczeniową.
W przypadku okręgu i prostej mamy trzy możliwości ich wzajemnego położenia:

Nie mają punktów wspólnych.

Prosta jest styczna do okręgu – mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Prosta jest sieczną okręgu – mają dwa punkty wspólne.

Metoda graficzna

Rysujemy okrąg i prostą w układzie współrzędnych i „wzrokowo” oceniamy ich wzajemne położenie.
Przykład:
Określimy wzajemne położenie okręgu i prostej:


Rysujemy okrąg i prostą w układzie współrzędnym (rysowanie okręgów zostało przedstawione w rozdziale: równanie okręgu; rysowanie prostych w rozdziałach: funkcja linowa – wykres oraz równanie prostej).

Po narysowaniu okręgu i prostej, widzimy, że nie mają punktów wspólnych.

Metoda obliczeniowa
W celu oceny wzajemnego położenia prostej i okręgu, należy obliczyć odległość prostej od środka okręgu (punkt S).
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej:

Przykład:
Określimy wzajemne położenie okręgu i prostej:

Po otrzymaniu odległości środka okręgu od prostej (d), porównujemy ją do promienia okręgu. Gdy:

d > r
- okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych,
d = r
- prosta jest styczna do okręgu, mają jeden punkt wspólny,
d < r
- prosta jest sieczną okręgu, mają dwa punkty wspólne.

W rozpatrywanym przykładzie mamy do czynienia z sytuacją, gdzie:

Prosta jest styczna do okręgu, mają jeden punkt wspólny.