Menu główne:
MATERIAŁ MATURALNY > planimetria (figury płaskie)
WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH OKRĘGÓW W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
Zanim przystąpicie do przerabiania tego tematu, należy sobie przypomnieć:
wzór na długość odcinka (PODSTAWY – figury płaskie 2 – tw. Pitagorasa w układzie współrzędnych).
- wzór okręgu (MATERIAŁ MATURALNY – funkcja liniowa i równanie okręgu – równanie okręgu).
Przypomnimy podstawowe informacje:
Aby określić wzajemne położenie okręgów, mamy do dyspozycji dwie metody:
- graficzną,
- obliczeniową.
Zanim opiszemy obie metody, należy wyjaśnić jakie mamy możliwość wzajemnego położenia dwóch okręgów:
Rozłączne zewnętrznie
Przecinające się
(mają dwa punkty wspólne)
Rozłączne wewnętrznie
Styczne zewnętrznie
(mają jeden punkt wspólny)
Styczne wewnętrznie
(mają jeden punkt wspólny)
Metoda graficzna
Polega na narysowaniu obu okręgów w układzie współrzędnych i „wzrokowej” ocenie ich wzajemnego położenia.
Przykład:
Określimy wzajemne położenie dwóch okręgów:
Rysujemy oba okręgi w układzie współrzędnych (rysowanie okręgów zostało przedstawione w rozdziale: równanie okręgu).
Po narysowaniu okręgów, widzimy, że są one styczne zewnętrznie.
Metoda obliczeniowa
W pierwszej kolejności obliczamy trzy elementy:
- sumę promieni obu okręgów: R+r,
- wartość bezwzględną z różnicy promieni obu okręgów: |R-r|,
- odległość środków obu okręgów – obliczamy wzorem na długość odcinka, podstawiając do niego współrzędne środków obu okręgów: |OS|.
Przykład:
Określimy wzajemne położenie dwóch okręgów:
Mając obliczone poszczególne wielkości:
Porównujemy ich wartości sprawdzając, z którą z pięciu możliwości mamy do czynienia:
- wtedy okręgi są rozłączne zewnętrznie,
- wtedy okręgi są styczne zewnętrznie,
- wtedy okręgi się przecinają,
- wtedy okręgi są styczne wewnętrznie,
- wtedy okręgi są rozłączne wewnętrznie.
Najłatwiej po kolei sprawdzać prawdziwość poszczególnych założeń, aż trafimy na to prawdziwe.
Dla rozpatrywanego przykładu:
- pierwsze założenie jest nieprawdziwe ( 5 nie jest większe od 8),
- drugie założenie jest nieprawdziwe (5 nie równa się 8),
- trzecie jest prawdziwe (5 jest mniejsze od 8 i większe od 2).
Ponieważ już trzecia ewentualność okazała się prawdziwa, nie musimy już sprawdzać dalej.
W związku z tym możemy stwierdzić, że okręgi się przecinają.
Okręgi się przecinają.
Podmenu: