Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

wzajemne położenie okregów (w ukł. wpółrzędnych) - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > planimetria (figury płaskie)

WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH OKRĘGÓW W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH


Zanim przystąpicie do przerabiania tego tematu, należy sobie przypomnieć:
wzór na długość odcinka (PODSTAWY – figury płaskie 2 – tw. Pitagorasa w układzie współrzędnych).
- wzór okręgu (MATERIAŁ MATURALNY – funkcja liniowa i równanie okręgu –
równanie okręgu).
Przypomnimy
podstawowe informacje:



Aby określić wzajemne położenie okręgów, mamy do dyspozycji dwie metody:
- graficzną,
- obliczeniową.

Zanim opiszemy obie metody, należy wyjaśnić jakie mamy możliwość wzajemnego położenia dwóch okręgów:

Rozłączne zewnętrznie


Przecinające się
(mają dwa punkty wspólne)

Rozłączne wewnętrznie



Styczne zewnętrznie
(mają jeden punkt wspólny)

Styczne wewnętrznie
(mają jeden punkt wspólny)




Metoda graficzna
Polega na narysowaniu obu okręgów w układzie współrzędnych i „wzrokowej” ocenie ich wzajemnego położenia.
Przykład:
Określimy wzajemne położenie dwóch okręgów:

Rysujemy oba okręgi w układzie współrzędnych (rysowanie okręgów zostało przedstawione w rozdziale: równanie okręgu).



Po narysowaniu okręgów, widzimy, że są one styczne zewnętrznie.



Metoda obliczeniowa

W pierwszej kolejności obliczamy trzy elementy:
- sumę promieni obu okręgów:
R+r,
- wartość bezwzględną z różnicy promieni obu okręgów: |R-r|,
- odległość środków obu okręgów – obliczamy wzorem na długość odcinka, podstawiając do niego współrzędne środków obu okręgów: |OS|.


Przykład:
Określimy wzajemne położenie dwóch okręgów:

Mając obliczone poszczególne wielkości:


Porównujemy ich wartości sprawdzając, z którą z pięciu możliwości mamy do czynienia:


- wtedy okręgi są rozłączne zewnętrznie,


- wtedy okręgi są styczne zewnętrznie,


- wtedy okręgi się przecinają,


- wtedy okręgi są styczne wewnętrznie,


- wtedy okręgi są rozłączne wewnętrznie.

Najłatwiej po kolei sprawdzać prawdziwość poszczególnych założeń, aż trafimy na to prawdziwe.
Dla rozpatrywanego przykładu:
- pierwsze założenie jest nieprawdziwe ( 5 nie jest większe od 8),
- drugie założenie jest nieprawdziwe (5 nie równa się 8),
- trzecie jest prawdziwe (5 jest mniejsze od 8 i większe od 2).
Ponieważ już trzecia ewentualność okazała się prawdziwa, nie musimy już sprawdzać dalej.
W związku z tym możemy stwierdzić, że okręgi się przecinają.


Okręgi się przecinają.



Powrót do treści | Wróć do menu głównego