Matematyka - od podstaw do matury

ZBIÓR A PRZEDZIAŁ
Matematyka – matura - zbiory i przedziały

Przedziały i sposób ich przedstawiania, za pomocą znaku nierówności i na osi liczbowej, zostały przedstawione w dziale „podstawy” (PODSTAWY – równania i nierówności – przedziały liczbowe). Z pojęciem zbioru każdy z Was z pewnością miał do czynienia, choć w sposób bardzo obrazowy (przedstawiany za pomocą grafu).
Przykład:

W dziale „podstawy” przedstawiliśmy, jakie zbiory zawiera zbiór liczb rzeczywistych (PODSTAWY – działania na liczbach – liczby (podział)).
Na tym etapie nauki powinniśmy potrafić zapisywać zbiory i przedziały w sposób formalny, oraz interpretować "zawartość" danego zbioru i przedział, gdy się pojawią (określać jakie wartości do niego należą).

Zbiory
Zbiór przedstawia grupę konkretnych liczb. Zapis zbioru składa się z jego nazwy (zbiory oznaczamy dużymi literami) oraz jego elementów zapisanych w klamrze. Poszczególne elementy zbioru oddzielamy przecinkami lub gdy mamy do czynienia z ułamkami dziesiętnymi – średnikami (przyczyna jest bardzo praktyczna – przecinki należące do ułamka, mogłyby nam się mylić z przecinkami rozdzielającymi poszczególne ułamki).
Przykłady:


Zbiory dzielimy na:

- skończone,
To zbiory które mają skończoną liczbę elementów.
Przykłady takich zbiorów zostały przedstawione powyżej.

- nieskończone
To zbiory mające nieskończoną liczbę elementów. W przypadku takiego zbioru, w klamrze zapisujemy kilka pierwszych elementów zbioru i trzykropek oznaczający, że zbiór ciągnie się do nieskończoności. Przykładem takiego zbioru jest zbiór liczb naturalnych N (całkowitych dodatnich):

Przedziały
Przedziały ilustrują pewien zakres liczb. W dziale „podstawy” przedstawiliśmy jak zapisywać przedział, będący rozwiązaniem nierówności, czyli za pomocą zmiennej „x”. Przedział tak jak zbiór może być również nazwany (oznaczony dużą literą alfabetu). Gdy do zapisu przedziału nie używamy zmiennej „x”, ale symbol wzoru (np: A), zamiast znaku (należy do) używamy znaku równości (tak jak w zbiorach).
Przykład:


UWAGA. Liczby w przedziałach rozdzielamy przecinkiem lub średnikiem (w przypadku ułamków dziesiętnych). W niektórych podręcznikach pomiędzy liczbami w przedziale zawsze stawia się średnik. Wybór przecinka lub średnika nie ma żadnego znaczenia.

Przedział w przeciwieństwie od zbioru, reprezentuje nieskończenie dużo liczb. Do przedziału należą wszystkie liczby, znajdujące się pomiędzy dwoma liczbami granicznymi (nazywamy je końcami przedziału), zapisanymi w przedziale (lub liczbą a nieskończonością). W przedstawionym powyżej przykładzie, do przedziału należą wszystkie liczby pomiędzy 2 i 14 (bez liczby 2, ale razem z liczbą 14).
Przykładowo:


Przedziały dzielimy na:

- ograniczone,
Są to przedziały, którego końce to dwie konkretne liczby. Przykład:

- nieograniczone.
Są to przedziały, w których jeden z końców to nieskończoność lub minus nieskończoność (przypominamy – nawias przy nieskończoności zawsze jest okrągły) Przykład:

Ponadto, ze względu na kształt nawiasów ograniczających przedział, wyróżniamy:
- przedziały obustronnie otwarte,
Oba nawiasy są okrągłe, czyli przedział jest otwarty z lewej i z prawej strony. Żadna z liczb granicznych nie należy do przedziału. Przykład:


- przedziały obustronnie domknięte,
Oba nawiasy są trójkątne, czyli przedział jest domknięty z lewej i z prawej strony. Obie liczby graniczne należą do przedziału. Przykład:


- przedział lewostronnie domknięty,
Lewy nawias jest trójkątny, prawy jest okrągły. Tylko liczba po lewej stronie należy do przedziału. Przykład:


- przedział prawostronnie domknięty.
Prawy nawias jest trójkątny, lewy jest okrągły. Tylko liczba po prawej stronie należy do przedziału. Przykład:




Precyzowanie zbiorów i przedziałów przedstawionych za pomocą zmiennej „x” i warunków (formuła logiczna).

W zadaniach zbiory/przedziały są często przedstawione w bardziej skomplikowany sposób, za pomocą formuły logicznego. Należy wtedy sprecyzować (uprościć zapis danego zbioru/przedziału).
UWAGA:

• Gdy mamy do czynienia z liczbami należącymi do zbioru liczb rzeczywistych (R) to otrzymujemy przedziały.
• Gdy liczby należą do zbioru liczb całkowitych (C) lub naturalnych (N), to otrzymujemy zbiór.

Przykład 1.

Gdy mamy do czynienia z takim zapisem, należy zinterpretować oba warunki zawarte w klamrze i ustalić, jakie liczby je spełniają.



Powyższe warunki spełnia kilka liczb. Rozwiązanie możemy zapisać więc za pomocą zbioru:




Przykład 2.

Gdy mamy do czynienia z takim zapisem, należy zinterpretować oba warunki zawarte w klamrze i ustalić, jakie liczby je spełniają.

Powyższe warunki spełnia zakres liczb. Rozwiązanie możemy zapisać więc za pomocą przedziału:

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)