Matematyka - od podstaw do matury

FUNKCJA WYKŁADNICZA - własności
Matematyka – matura - funkcja wykładnicza: własności funkcji wykładniczej, dziedzina, monotoniczność, zbiór wartości, miejsce zerowe, asymptota

Własności danej funkcji wykładniczej określamy na podstawie wykresu.
Mając dany wzór funkcji, najpierw rysujemy jej wykres, a następnie odczytujemy jej własności. Jak narysować wykres, przedstawiliśmy w poprzednim rozdziale.
Odczytywanie własności funkcji na podstawie wykresu, omówiliśmy w rozdziale: odczytywanie własności funkcji z wykresu.

Mając dany wykres funkcji wykładniczej powinniśmy potrafić odczytać z niego pięć najważniejszych własności:
1) dziedzina funkcji,
2) zbiór wartości,
3) monotoniczność,
4) miejsce zerowe,
5) asymptota.

Zupełnie nowym pojęciem jest asymptota. Jest to pozioma (asymptota pozioma) lub pionowa (asymptota pionowa) prosta, do której wykres funkcji „dochodzi”, ale jej nie przekracza.
Funkcja wykładnicza posiada asymptotę poziomą.

Dla prostych przypadków, asymptotą tą jest oś 0X.
Wzór takiej asymptoty: y = 0

Dla przypadków, gdy wykres otrzymujemy poprzez transformację o wektor, asymptota znajduje się na wysokości, która wynika z przesunięci wykresu funkcji o określoną liczbę jednostek w górę lub w dół.
W poprzednim podrozdziale narysowaliśmy taki wykres wraz z asymptotą, która znajdowała się na wysokości -4 (bo funkcję przesunęliśmy o 4 jednostki w dół):

Wzór asymptoty funkcji z przykładu: y = -4

Określimy teraz wszystkie pięć własności dla konkretnego przykładu:
Przykład:

1) dziedzina funkcji


2) zbiór wartości

3) monotoniczność

4) miejsce zerowe*

5) asymptota

*UWAGA: Gdy funkcja ma miejsce zerowe, należy je obliczyć, przyrównując wzór funkcji do zera! Otrzymujemy wówczas równanie wykładnicze ( równania wykładnicze). Określenie czy funkcja ma miejsce zerowe nie wymaga rysowania wykresu. Wystarczy stwierdzić, czy podczas rysowania będziemy przesuwać wzór funkcji w dół, czy nie. Tylko funkcje wymagające przesuwania w dół podczas rysowania mają miejsce zerowe.

Przykład:
Obliczymy miejsce zerowe funkcji:

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)