Matematyka - od podstaw do matury

DRZEWA ZDARZEŃ

Tak zwane „drzewka” są innym podejściem stosowanym do obliczania prawdopodobieństwa, niż metody które przedstawialiśmy do tej pory.
W poprzednich podrozdziałach aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, obliczaliśmy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich zdarzeń zdarzenia losowego.

W przypadku drzewek będziemy obliczać prawdopodobieństwa mniejszych zdarzeń, składających się na przestrzeń zdarzeń elementarnych, a następnie będziemy wykonywać działania na tych prawdopodobieństwach.

Zanim napiszemy czym jest to „mniejsze zdarzenie”, należy wyjaśnić w jakich sytuacjach możemy stosować tę metodę.
Podstawowym warunkiem jest wystąpienie przynajmniej dwóch losowań (np: rzucamy dwa razy kostką, losujemy trzy bile z siedmiu itp.). Nie może także być ich zbyt dużo (najlepiej nie więcej niż trzy).
Wspomniane wcześniej „mniejsze zdarzenie” to jedno losowanie lub jeden wybór.

Rozwiązanie zadania tą metodą składa się z kilku kroków, co przedstawimy na prostym przykładzie.
Przykład:
Rzucamy trzy razy czworościenną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia dokładnie dwóch czwórek.

UWAGA. To jak szczegółowe będzie nasze drzewko, wynika z warunku zdarzenia losowego. Wprawdzie mamy czworościenną kostkę, a więc możliwe wyniki w jednym rzucie to: 1, 2, 3, 4, ale warunkiem jest uzyskanie dwóch czwórek. Nie interesuje nas jaka liczba oczek wypadnie, gdy nie wypadnie czwórka. Dlatego każde losowanie rozpatrujemy pod kątem: „czwórka” lub „nie czwórka”.

KROK I.
Rysujemy drzewko dla wszystkich rzutów/losowań.

KROK II.
Zapisujemy prawdopodobieństwo „mniejszych zdarzeń” na poszczególnych gałęziach.

KROK III.
Ustalamy które „drogi” spełniają opisane w zadaniu zdarzenie losowe. Jedno konkretna „droga” wiedzie od punktu startu, do wyniku ostatniego rzutu/losowania.

KROK IV.
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia losowego zgodnie z zasadą:
P(A) = iloczyn prawdopodobieństw jednej „drogi” + iloczyn prawdopodobieństw drugiej + iloczyn prawdopodobieństw trzeciej …

W przedstawionym przykładzie wynik jednego rzutu nie miał wpływu na wynik kolejnego. W niektórych zadaniach może zdarzyć się jednak inaczej.
Przykład:
W pojemniku znajduje się 6 bil czerwonych i 4 bile niebieskie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, polegającego na wylosowaniu dwóch bil czerwonych.

Możemy się spotkać z zadaniami, w których prawdopodobieństwo wszystkich lub niektórych „mniejszych zdarzeń” zostaje podane w treści.

Przykład:
W firmie produkującej ozdoby choinkowe, okazało się, że 1/3 sprzedanych bombek miała kształt kulisty, a pozostałe miały inny kształt. Ponadto bombki kuliste były w dwóch kolorach: czerwonym i złotym, a bombki niekuliste tylko w kolorze czerwonym. Wśród klientów wybierających bombki kuliste aż 4/5 wybierało bombki złote. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, polegającego na wylosowaniu spośród sprzedanych bombek, bombki czerwonej.