Menu główne:
MATERIAŁ MATURALNY > funkcja kwadratowa
WYKRES FUNKCJI KWADRATOWEJ
Matematyka – matura - funkcja kwadratowa: wykres funkcji kwadratowej
Jak już napisaliśmy – wykres funkcji kwadratowej ma specyficzny kształt paraboli.
UPROSZCZONY WYKRES FUNKCJI KWADRATOWEJ
W celu otrzymania uproszczonej wersji wykresu (mniej dokładnej), którą będziemy wykorzystywać między innymi w określaniu przedziałów monotoniczności, wystarczy znać współrzędne wierzchołka i wiedzieć, w którą stronę będą skierowane ramiona funkcji (w górę, czy w dół).
Ramiona paraboli będą skierowane w górę, gdy a > 0
Ramiona paraboli będą skierowane w dół , gdy a < 0
DOKŁADNY WYKRES FUNKCJI KWADRATOWEJ
Istnieją dwa podstawowe sposoby rysowania dokładnego wykresu funkcji kwadratowej:
SPOSÓB I
Rysujemy wykres funkcji bazując na kilku kluczowych punktach:
1) wierzchołek paraboli,
2) punkty przecięcia z osią 0X (punkty dla miejsc zerowych),
3) parę dodatkowych punktów – minimum dwa – jeden dla jakiegoś argumentu położonego na lewo od miejsc zerowych, drugi położony na prawo.
UWAGA: Gdy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych lub istnieje tylko jedno miejsce zerowe, potrzebujemy minimum dwóch punktów na lewo od wierzchołka i dwóch punktów na prawo.
Bezpośrednio, wszystkie wymienione elementy możemy obliczyć, mając do dyspozycji postać ogólną. Pozostałe postaci (iloczynowa i kanoniczna) mają też pewne zalety.
Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej - postać ogólna
Obliczamy po kolei wymienione elementy. Następnie zaznaczamy wszystkie uzyskane punkty w układzie współrzędnych i od ręki łączymy je linią w kształcie paraboli.
Przykład:
Punkty przecięcia z osią 0X:
Punkt na lewo od miejsc zerowych:
Wybraliśmy argument -5:
Współrzędne punktu: (-5, -7)
Punkt na prawo od miejsc zerowych:
Wybraliśmy argument 3:
Współrzędne punktu: (3, -7)
Teraz możemy połączyć punkty linią w kształcie paraboli:
Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej - postać iloczynowa.
Dokładny wykres paraboli uzyskujemy w ten sam sposób. Potrzebujemy tych samych kluczowych punktów.
Różnice:
1) wierzchołek paraboli. Współrzędnych wierzchołka nie obliczymy bezpośrednio z postaci iloczynowej. W tym celu musimy zapisać wzór funkcji za pomocą postaci ogólnej, a następnie korzystając z tej postaci, obliczamy współrzędne wierzchołka, tak jak zostało to wcześniej przedstawione.
2) punkty przecięcia z osią 0X (punkty dla miejsc zerowych).
Nie musimy ich obliczać! Wystarczy je odczytać bezpośrednio z wzoru w postaci iloczynowej.
Przykład:
Punkty przecięcia z osią 0X:
3) parę dodatkowych punktów – minimum dwa – jeden dla jakiegoś argumentu położonego na lewo od miejsc zerowych, drugi położony na prawo.
Możemy je obliczyć bezpośrednio z postaci iloczynowej, ale dla ułatwienia obliczeń zalecamy skorzystanie z postaci ogólnej.
Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej - postać kanoniczna.
Dokładny wykres paraboli uzyskujemy w ten sam sposób. Potrzebujemy tych samych kluczowych punktów.
Różnice:
1) wierzchołek paraboli. Nie obliczamy współrzędnych wierzchołka funkcji kwadratowej. Można je bezpośrednio odczytać ze wzoru:
Przykład:
2) punkty przecięcia z osią 0X (punkty dla miejsc zerowych).
Miejsc zerowych nie obliczamy bezpośrednio z postaci kanonicznej. W tym celu musimy zapisać wzór funkcji za pomocą postaci ogólnej, a następnie korzystając z tej postaci, obliczamy miejsca zerowe, tak jak zostało to wcześniej przedstawione.
3) parę dodatkowych punktów – minimum dwa – jeden dla jakiegoś argumentu położonego na lewo od miejsc zerowych, drugi położony na prawo.
Możemy je obliczyć bezpośrednio z postaci kanonicznej, ale dla ułatwienia obliczeń zalecamy skorzystanie z postaci ogólnej.
SPOSÓB II
Tym sposobem posługujemy się korzystając wyłącznie z postaci kanonicznej!
Przykład:
Rysowanie wykresu funkcji tym sposobem, składa się z dwóch podstawowych kroków:
1) Rysujemy wykres prostszej funkcji (pozbawionej współrzędnych wierzchołków).
W naszym przykładzie eliminujemy więc:
Otrzymujemy w ten sposób najprostszy przypadek funkcji kwadratowej. Wykres funkcji kwadratowej składający się wyłącznie z jednego wyrażenia, jest parabolą, której wierzchołek znajduje się zawsze w początku układu współrzędnych.
Dodatkowo obliczamy po dwa punkty, znajdujące się na lewo i na prawo od początku układu współrzędnych:
Wybraliśmy:
Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i łączymy je linią w kształcie paraboli:
1) Przesuwamy wykres funkcji o wektor.
Wektor przesunięcia:
W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)